Galdeano, Patricia
Álgebra y Geometría Analítica / Patricia Galdeano, Jorge Oviedo y María Isabel Zakowicz. - 1a ed. - San Luis: Nueva Editorial Universitaria, 2017 . - 90 p. ; 30x21 cm.
1. Números Complejos.......................................... 5
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Forma binómica o canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Producto por un real k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Multiplicación o producto . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Conjugado de un número complejo . . . . . . . . . . . 7
1.2.5. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Forma polar o trigonométrica de un número complejo . . . . . 10
1.3.1. Producto y cociente en forma polar . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Potencias de números complejos en forma polar . . . . 14
1.4. Forma exponencial de un número complejo . . . . . . . . . . . 15
1.5. Raíces de un números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Lógica 26
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Proposiciones Compuestas y Conectivos Lógicos . . . . 27
2.3. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Disyunción y Diferencia Simétrica . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Leyes Lógicas o Tautologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Funciones Proposicionales. Cuanticación. . . . . . . . . . . . 38
2.6. Circuitos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Razonamiento Deductivo y Métodos de demostración 47
3.1. Razonamiento Deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2. Demostración por contrarrecíproco . . . . . . . . . . . 51
3.2.3. Demostraciones por reducción al absurdo . . . . . . . . 51
3.3. Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Principio de Inducción Matemática . . . . . . . . . . . 53
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Conjuntos 65
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Notaciones y Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4. Conjuntos y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.2. Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica . 74
4.6. Conjunto de Partes. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . 78
4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Vectores 88
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2. Enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1. Deniciones y Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3. Enfoque Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1. Vectores en R2 en términos de su módulo, dirección y sentido . . . . . 94
5.5. Producto escalar (o interno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2. Proyeccion de un vector sobre otro . . . . . . . . . . . 99
5.6. Producto vectorial de vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Geometría Analítica 109
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1. Ecuación vectorial y paramétrica . . . . . . . . . . . . 110
6.3. Posiciones relativas de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1. Angulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4. Ecuaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.1. Ecuación vectorial y representación paramétrica . . . . 115
6.4.2. Ecuación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5. Posiciones relativas de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6. Representación gráfica de rectas y planos . . . . . . . . . . . . 120
6.6.1. Representación gráfica de rectas en R3 . . . . . . . . . 120
6.6.2. Representación gráfica de Planos . . . . . . . . . . . . 122
6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7. Sistemas de ecuaciones lineales 130
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2. Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8. Matrices 156
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2. Deniciones y Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . 157
8.3. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.1. Multiplicación Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.3. Producto de Matrices o Multiplicación Matricial. . . . 159
8.3.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4. Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6. Forma matricial de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . 170
8.6.1. Rango de una Matriz. Teorema de Rouche. . . . . . . . 172
8.7. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A. Bibliografía 180
9789877330946
MATEMATICAS
ALGEBRA
GEOMETRIA ANALITICA
512.5
Álgebra y Geometría Analítica / Patricia Galdeano, Jorge Oviedo y María Isabel Zakowicz. - 1a ed. - San Luis: Nueva Editorial Universitaria, 2017 . - 90 p. ; 30x21 cm.
1. Números Complejos.......................................... 5
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Forma binómica o canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Producto por un real k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Multiplicación o producto . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Conjugado de un número complejo . . . . . . . . . . . 7
1.2.5. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Forma polar o trigonométrica de un número complejo . . . . . 10
1.3.1. Producto y cociente en forma polar . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Potencias de números complejos en forma polar . . . . 14
1.4. Forma exponencial de un número complejo . . . . . . . . . . . 15
1.5. Raíces de un números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Lógica 26
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Proposiciones Compuestas y Conectivos Lógicos . . . . 27
2.3. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Disyunción y Diferencia Simétrica . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4. Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.5. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Leyes Lógicas o Tautologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Funciones Proposicionales. Cuanticación. . . . . . . . . . . . 38
2.6. Circuitos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Razonamiento Deductivo y Métodos de demostración 47
3.1. Razonamiento Deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Forma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2. Demostración por contrarrecíproco . . . . . . . . . . . 51
3.2.3. Demostraciones por reducción al absurdo . . . . . . . . 51
3.3. Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Principio de Inducción Matemática . . . . . . . . . . . 53
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Conjuntos 65
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Notaciones y Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4. Conjuntos y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.2. Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica . 74
4.6. Conjunto de Partes. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . 78
4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Vectores 88
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2. Enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1. Deniciones y Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3. Enfoque Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1. Vectores en R2 en términos de su módulo, dirección y sentido . . . . . 94
5.5. Producto escalar (o interno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2. Proyeccion de un vector sobre otro . . . . . . . . . . . 99
5.6. Producto vectorial de vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Geometría Analítica 109
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1. Ecuación vectorial y paramétrica . . . . . . . . . . . . 110
6.3. Posiciones relativas de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1. Angulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4. Ecuaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.1. Ecuación vectorial y representación paramétrica . . . . 115
6.4.2. Ecuación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5. Posiciones relativas de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6. Representación gráfica de rectas y planos . . . . . . . . . . . . 120
6.6.1. Representación gráfica de rectas en R3 . . . . . . . . . 120
6.6.2. Representación gráfica de Planos . . . . . . . . . . . . 122
6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7. Sistemas de ecuaciones lineales 130
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2. Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8. Matrices 156
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2. Deniciones y Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . 157
8.3. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.1. Multiplicación Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.3. Producto de Matrices o Multiplicación Matricial. . . . 159
8.3.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4. Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6. Forma matricial de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . 170
8.6.1. Rango de una Matriz. Teorema de Rouche. . . . . . . . 172
8.7. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A. Bibliografía 180
9789877330946
MATEMATICAS
ALGEBRA
GEOMETRIA ANALITICA
512.5